¿Qué es factorización?
En matemática, la factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos reducibles.
Los diferentes tipos de factoreo
1.- Factor Común
Sacar factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
ma+mb+mc=m(a+b+c)
Nos dice que cuando los términos de un polinomio tienen un factor común m, el polinomio es igual al producto de este factor por el polinomio cuyos términos se obtienen dividiendo por m los términos del polinomio dado
Factor común en un polinomio: Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva
Ejemplos:
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)
7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
2.- Factor comun por agrupación
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.
Pueden ser agrupados de tal manera que factorizando cada grupo quede un factor común complejo en la expresión
Así, por ejemplo, si la expresión está dada de esta forma
ac+bc+ad+bd
y se agrupa el primer término con el segundo y el tercero con el cuarto, se tiene
(ac+bc)+(ad+bd)
y sacando factor común en cada grupo quedaria así:
c(a+b)+d(a+b)
como ahora la expresión contiene como factor común (a+b), sacando este factor se obtiene finalmente
(a+b)+(c+d)
Ejemplos:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz = a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)
m(x + 2) – x – 2 + 3(x + 2) = (x + 2)(m + 3) -1(x + 2) = (x + 2)[(m + 3) – 1]
= (x + 2)(m + 3 – 1)
3.-Diferencia de cuadrados
Observamos que en los productos notables se vio que dos cantidades multiplicadas por su diferencia es el cuadrado del minuendo por el cuadrado del sustraendo, se tiene
- a2 − b2 = (a + b) · (a − b)
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por
el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los
productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.
Pasos:
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el
segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio
que es negativo).
Ejemplos:
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
x y
4.-Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres
términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro
término es el doble producto de las bases de esos cuadrados. +
Procedimiento
- Se ordena el trinomio y se obtienen las raíces del primero y tercer término los cuales deben ser exactos.
- El doble producto de las raíces anteriores deberá dar como resultado el segundo término.
- Si la expresión algebraica cumple con lo anterior se dice que tenemos un trinomio cuadrado perfecto, el cual podremos factorizar.
- Se toman las raíces obtenidas en el punto 1 colocando entre dichas raíces el signo del segundo término de la expresión. El binomio que se forma se eleva al cuadrado y se dice que ésta es la factorización
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
Ejemplos:
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2
x2 + 14x +49 = (x + 7)2
5.-Combinacion de diferencia de cuadrados con trinomio cuadrado perfecto
Algunos polinomios pueden ser expresados como diferencia de cuadrados
si se agrupan convenientemente los términos que formen cuadrados perfectos.
Ejemplo:
6.-Trinomio incompleto
Este caso se resuelve completando el trinomio
Pasos:
a^4 - 16a^2b^2 + 36b^4
Realizando la prueba del trinomio cuadrado perfecto vemos que el termino del medio debe ser 12a^2b^2 entonces:
a^4 - 16a^2b^2 + 36b^4
+ 4 a^2b^2 ....................-4a2b^2
(a^4 - 12 a^2b^2 +36 b^4 ) - 4 a^2b^2
Trinomio cuadrado perfecto - termino que tiene raiz cuadrada exacta
(a^2 - 6b^2 )^2 - 4a^2b^2...........tenemos una diferencia de cuadrados
Resolviendo
( a^2 -6b^2 -2ab ) ( a^2- 6b^2 + 2ab )
Ejemplo:
a2
+ 2ab + b2 - 25m2= (a2 +
2ab
+ b2) - 25m2
= (a + b)2 - 25m2
=
(a + b + 5m)(a + b - 5m)
Pasos
- Ordenar los términos en referencia a los casos de Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados
- Factorar el Trinomio y aplicar la resolución como al trabajar con Diferencia de cuadrados
- Obtener la Solución
6.-Trinomio incompleto
Este caso se resuelve completando el trinomio
Pasos:
- Antes de resolver ordenar en forma ascendente o descendente
- El primer y tercer termino deben tener raiz cuadrada exacta
- Los signos deben ser todos positivos o alternados
- No cumple con la regla del trinomio cuadrado perfecto
- Para que cumpla con la regla del T. C.P hay que sumarle y restarle un termino que debe cuplir con una condicion, tener raiz cuadrada exacta.
a^4 - 16a^2b^2 + 36b^4
Realizando la prueba del trinomio cuadrado perfecto vemos que el termino del medio debe ser 12a^2b^2 entonces:
a^4 - 16a^2b^2 + 36b^4
+ 4 a^2b^2 ....................-4a2b^2
(a^4 - 12 a^2b^2 +36 b^4 ) - 4 a^2b^2
Trinomio cuadrado perfecto - termino que tiene raiz cuadrada exacta
(a^2 - 6b^2 )^2 - 4a^2b^2...........tenemos una diferencia de cuadrados
Resolviendo
( a^2 -6b^2 -2ab ) ( a^2- 6b^2 + 2ab )
Ordenando
(a^2 -2ab -6b^2 ) ( a^2 +2ab - 6b^2)
7.-Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
(a^2 -2ab -6b^2 ) ( a^2 +2ab - 6b^2)
7.-Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Procedimiento:
- 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio, o sea “x”.
- 2. En el primer factor después de X, se escribre el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de X se escribre el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer términos del trinomio.
- 3. Luego se buscan dos números cuya suma sea el coeficiente del segundo término y cuyo producto sea el tercer término del trinomio, estos son los términos independientes de los binomios.
8.-Trinomio de la forma ax2+bx+c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (
)
se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser
positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual
detallamos a continuación
)
se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser
positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual
detallamos a continuación- Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a
.
- Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino
- al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio.
- El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
- Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
Ejemplo explicativo:
Ejemplos
4x2 + 8x + 3= 4x2 + 6x + 2x + 3
= (4x2 + 6x) + (2x + 3)
= 2x(2x + 3) + (2x + 3)
= (2x + 1)(2x + 3)
2x2 + 5x + 3= 2x2 + 3x + 2x + 3
= x(2x+3) + (2x + 3)
= (2x + 3) ( x + 1)
6x2 + 7x + 2= 6x2 + 4x + 3x + 2
=2x(3x + 2)+(3x + 2)
=(2x + 1)(3x + 2)
= (4x2 + 6x) + (2x + 3)
= 2x(2x + 3) + (2x + 3)
= (2x + 1)(2x + 3)
2x2 + 5x + 3= 2x2 + 3x + 2x + 3
= x(2x+3) + (2x + 3)
= (2x + 3) ( x + 1)
6x2 + 7x + 2= 6x2 + 4x + 3x + 2
=2x(3x + 2)+(3x + 2)
=(2x + 1)(3x + 2)
9.- Suma y resta de potencias impares
Sabemos que multiplicando la suma de dos expresiones algebraicas cualesquiera
por el polinomio homogeneo ordenado de segundo grado formado por dichas
expresiones y coeficientes +1, -1, +1, se obtenía la suma de cubos de
dichas expresiones algebraicas
- Tienen dos terminos de los cuales por lo general se puede extraer la raiz quinta o septima y estan separados por el signo mas o menos
- Si el signo es positivo en la respuesta van alternados
- Si el signo es negativo en la respuesta van todos positivos
Por consiguiente a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).Ejemplos:
1. x3 + 1
(x + l)(x2 - x + 1).
1. x3 + 1
(x + l)(x2 - x + 1).
10.- Suma y resta de potencias pares
Procedimiento:
- La suma de potencias de exponente par es descomponible en factores (con coeficientes racionales) cuando los exponentes contienen el mismo factor impar, en cuyo caso dicha suma puede expresarse como suma de potencias con el mismo exponente impar
- Se aplica la regla similar a la de la suma de potencias de exponente
impar.
|
Factorizar:
x6
+ y6
|
(x2)3 + (y2)3(x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) |
11.- Factorización por evaluación
División sintética o regla de Rufini.
Se aplica para divir cualquier polinomio P(x) para un binomio de primer grado de la forma (ax + b). Nosotros aquí vamos a estudiar para el caso particular en el que a = 1. Es decir, dividiremos para el binomio (x + b). Para ello utilizaremos el siguiente ejemplo:
La regla dice que se debe igualar el divisor a cero y despejar el valor de x. Es decir: x + 2 = 0, de donde x = -2 . Es este valor el que se coloca como divisor en la galera de Rufini, misma que se muestra en la siguiente figura:
Obsérvese como colocamos los coeficientes de los términos de la variable en el polinomio P(x) , ordenados según su grado.
El 4 no tiene con quien sumar, de manera que baja como 4 mismo.
Siguiendo el sentido de las flechas y los símbolos matemáticos indicados en ellas, obtenemos los demás elementos de la galera hasta obtener todos los coeficientes de los términos del cociente Q(x), de igual forma ordenados descendentemente según su grado; en este caso 4, -10 y 21. El último número (- 43) corresponde al residuo R.
Hacemos notar que Q(x) es un de un grado menor que el polinomio P(x). y R un término independiente o constante.
Ahora, y recordando el algoritmo de la división: P(x) = (x + b).Q(x)+R , podemos concluir:
Póngase atención que si el residuo hubiese sido cero y no (-43), la división hubiese resultdo exacta; y entonces (x + 2) sería factor del polinomio P(x) dado.
Ahora que sabemos dividir utilizando la regla de Rufini, entraremos propiamente en lo que nos oocupa; la factorización por el método de evaluación.
Para ello consideremos que necesitamos factorar un polinomio P(x) de la forma: kx3 + mx2 + nx + p
Tenemos que analizar si contiene un factor de la forma (x + b). Recuerde que para que esto suceda el residuo R debe ser cero; si esto es así y por el algoritmo de la división tenemos:
kx3 + mx2 + nx + p = (x + b).(Ax2 + Bx + c)
En donde el cociente Q(x) va ha ser en general un polinomio de la forma:
(Ax2 + Bx + c)
Observemos lo que ocurre si efectuamos:
E decir que:
Si comparamos término a término, encontramos que: p = (b x c). Es decir que el término b del divisor (x + b) figura como factor del tpermino independiente del polinomio P(x) dado. Por lo tanto la evaluación se debe realizar para:
Ejemplo:
Factorar el polinomio P(x) = x3 - 8x2 +16x - 5
Los factores primos de 5 son 1 y 5, debemos hacer la evaluación por tanto para:
- Para (x + 1), igualando a cero tenemos que x = -1. De donde:
- Para (x - 1), igualando a cero tenemos que x = 1. De donde:
- Para (x+ 5), igualando a cero tenemos que x = -5. De donde:
- Para (x- 5), igualando a cero tenemos que x = 5. De donde:
En este caso no hubo residuo, por lo que podemos afirmar que (x - 5) es factor del polinomio P(x) propuesto. y como el cociente de la división (x2 - 3x + 1) se constituye automáticamente en el otro factor tenemos:
x3 - 8x2 +16x - 5 = (x - 5).(x2 - 3x + 1 )
